Substitusi tangen setengah sudut

Dalam integral kalculus, substitusi tangen setengah sudut adalah teknik pergantian variabel untuk menyelesaikan integral tak tentu, yang mengubah fungsi rasional dari fungsi trigonometri terhadap ${\textstyle x}$ menjadi fungsi rasional biasa terhadap ${\textstyle t}$ dengan menetapkan ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$. Ini adalah proyeksi stereografik satu dimensi dari lingkaran satuan yang diparameterkan oleh ukuran sudut ke garis bilangan real. Rumus umum^[1] transformasinya ialah:

$${\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int f{\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)}{\frac {2\;dt}{1+t^{2}}}.}$$

Tangen setengah sudut itu penting dalam trigonometri bola dan kadang dikenal pada abad ke-17 sebagai setengah tangen atau semi-tangen.^[2] Leonhard Euler menggunakan substitusi ini untuk menyelesaikan integral ${\textstyle \int dx/(a+b\cos x)}$ dalam buku cetak integral kalkulus tahun 1768 miliknya,^[3] dan Adrien-Marie Legendre menjelaskan metodenya secara umum pada 1817.^[4]

Substitusi ini dijelaskan pada sebagian besar buku integral kalkulus sejak akhir abad ke-19, biasanya tanpa nama khusus.^[5] Substitusi ini dikenal dalam Rusia sebagai substitusi trigonometri universal (universal trigonometry substitution),^[6] dan dikenal juga variasi nama seperti substitusi setengah tangen atau substitusi sudut paruh. Substitusi ini terkadang salah dikaitkan sebagai substitusi Weierstrass.^[7] Michael Spivak menyebutnya "substitusi terlicik sedunia".^[8]

1. ^ Fungsi trigonometri lainnya dapat ditulis sebagai fungsi sinus dan kosinus.
2. ^ Gunter, Edmund (1673) [1624]. The Works of Edmund Gunter. Francis Eglesfield.  p. 73
3. ^ Euler, Leonhard (1768). "§1.1.5.261 Problema 29" (PDF). Institutiones calculi integralis [Fondasi dari Integral Kalkulus] (dalam bahasa Latin). I. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum. hlm. 148–150.  E342, Terjemahan bahasa Inggris oleh Ian Bruce.
4. ^ Legendre, Adrien-Marie (1817). Exercices de calcul intégral [Latihan untuk integral kalkulus] (dalam bahasa Prancis). 2. Courcier.  p. 245–246.
5. ^ Sebagai contoh,
   • Hermite (1873) https://archive.org/details/coursdanalysedel01hermuoft/page/320/
   • Johnson (1883) https://archive.org/details/anelementarytre00johngoog/page/n66
   • Picard (1891) https://archive.org/details/traitdanalyse03picagoog/page/77
   • Goursat (1904) [1902] https://archive.org/details/courseinmathemat01gouruoft/page/236
   • Wilson (1911) https://archive.org/details/advancedcalculus00wils/page/21/
   • Edwards (1921) https://archive.org/details/treatiseonintegr01edwauoft/page/188
   • Courant (1961) [1934] https://archive.org/details/ost-math-courant-differentialintegralcalculusvoli/page/n250
   • Peterson (1950) https://archive.org/details/elementsofcalcul00pete/page/201/
   • Apostol (1967) https://archive.org/details/calculus0000apos/page/264/
   • Swokowski (1979) https://archive.org/details/calculuswithanal02edswok/page/482
   • Larson, Hostetler, & Edwards (1998) https://archive.org/details/calculusofsingle00lars/page/520
   • Rogawski (2011) https://books.google.com/books?id=rn4paEb8izYC&pg=PA435
   • Salas, Etgen, & Hille (2021) https://books.google.com/books?id=R-1ZEAAAQBAJ&pg=PA409
6. ^ Piskunov, Nikolai (1969). Differential and Integral Calculus [Kalkulus Differensial dan Integral]. Mir.  p. 379
7. ^ James Stewart menyinggung Karl Weierstrass saat membicarakan substitusi tersebut dalam buku cetak kalkulus populer miliknya, yang terbit pertama kali tahun 1987:

   Stewart, James (1987). "§7.5 Rationalizing substitutions". Calculus [Kalkulus]. Brooks/Cole. hlm. 431. Matematikawan Jerman Karl Weierstrauss (1815–1897) menyadari substitusi t = tan(x/2) akan mengubah fungsi rasional terhadap sin x dan cos x menjadi fungsi rasional biasa. 

   Penulis setelahnya, menyitasi Stewart, terkadang merujuk ini sebagai Substitusi Weierstrass, misalnya:

   Jeffrey, David J.; Rich, Albert D. (1994). "The evaluation of trigonometric integrals avoiding spurious discontinuities". Transactions on Mathematical Software. 20 (1): 124–135. 

   Merlet, Jean-Pierre (2004). "A Note on the History of Trigonometric Functions" [Catatan dalam Sejarah Fungsi Trigonometri] (PDF). Dalam Ceccarelli, Marco. International Symposium on History of Machines and Mechanisms (dalam bahasa Inggris). Kluwer. hlm. 195–200. doi:10.1007/1-4020-2204-2_16. 

   Weisstein, Eric W. (2011). "Weierstrass Substitution" [Substitusi Weierstrass]. MathWorld (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-04-01. 

   Stewart tidak memberikan bukti for the attribution to Weierstrass. Substitusi yang mirip muncul dalam Weierstrass’s Mathematical Works, from an 1875 lecture dimana Weierstrass credits Carl Gauss (1818) dengan ide untuk menyelesaikan integral dalam bentuk ${\textstyle \int d\psi \,H(\sin \psi ,\cos \psi ){\big /}{\sqrt {G(\sin \psi ,\cos \psi )}}}$ dengan substitusi ${\textstyle t=-\cot {\frac {\psi }{2}}.}$

   Weierstrass, Karl (1915). "8. Bestimmung des Integrals ...". Mathematische Werke von Karl Weierstrass (dalam bahasa Jerman). 6. Mayer & Müller. hlm. 89–99.  Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)

8. ^ Spivak, Michael (1967). "Ch. 9, problems 9–10" [Bab 9, soal 9-10]. Calculus [Kalkulus] (dalam bahasa Inggris). Benjamin. hlm. 325–326.